Scherrer 方程计算器
把 XRD 峰宽换算为晶粒（相干衍射畴）尺寸，支持仪器宽化校正与 Williamson-Hall 尺寸-应变分离。
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功能简介
本工具把粉末 X 射线衍射的峰宽换算为晶粒尺寸。输入衍射峰位与其半高宽，可选地扣掉标样实测的仪器宽化，即可得到相干衍射畴的尺寸；第三种模式对多个衍射峰做 Williamson-Hall 分析，把尺寸宽化与微应变分离开。谱里只有一个分辨良好的峰时用第一种模式；想事先判断这台仪器能不能测出预期尺寸，用第二种；有多个峰并且怀疑存在微应变，就用第三种。面向材料、电池与催化方向的研究者，以及需要给出可辩护数值、而不是把公式塞进表格里凑数的学生。
原理与公式
Scherrer 方程写作 D = K x λ / (β x cosθ)：D 是相干衍射畴尺寸，单位与波长一致；K 是无量纲形状因子；λ 是 X 射线波长；β 是样品自身衍射峰的半高宽，单位为弧度；θ 是布拉格角。三个细节决定结果对不对。第一，β 必须用弧度：实验室软件给出的半高宽是度，直接代入会把 D 放大 57.3 倍，而结果仍是一个看起来像纳米的数字，极难自查。弧度与度的换算就是乘以 π 再除以 180，0.318° 即 0.00555 rad。第二，θ 是半角：实测的是 2θ，取余弦之前必须先除以 2。第三，β 只能是样品本身的贡献，仪器宽化必须扣除。若两者都近似高斯，方差可加，β = sqrt(β_obs^2 - β_inst^2)；若近似洛伦兹，则半高宽直接相减。两种模型通常相差 5% 到 15%，样品峰越窄差得越多。形状因子 K 对球形晶粒约为 0.89，立方体约为 0.83，无规取向粉末常用 0.9。β 通常来自峰形拟合（Pseudo-Voigt 或高斯-洛伦兹混合函数），换一个拟合函数，同一个峰算出的 β 可能差 10% 以上，因此报尺寸时最好一并说明拟合方式。波长则随靶材变化：Cu Kα 为 0.15406 nm，Co Kα 为 0.17902 nm，Mo Kα 为 0.071073 nm。
演算示例
Cu Kα 谱（λ = 0.15406 nm）中某峰位于 2θ = 21.50°，实测半高宽 0.318°；同一条件下测得 LaB6 标样的仪器宽化为 0.080°。角度减半得 θ = 10.75°，cosθ = 0.98245。换算成弧度：β_obs = 0.00555 rad，β_inst = 0.00140 rad。按高斯模型，β = sqrt(0.00555^2 - 0.00140^2) = 0.00537 rad，于是 D = 0.9 x 0.15406 / (0.00537 x 0.98245) = 26.3 nm。若不扣仪器宽化则得 25.4 nm，可见此处校正量在百分之几的量级。再把这套数据的 8 个峰送入 Williamson-Hall 模式，图像立刻变样：单峰表观尺寸从低角的 25.4 nm 一路滑到高角的 18.0 nm，这是微应变的典型特征。拟合直线截距 4.335e-3、斜率 1.499e-3，故 D = 0.9 x 0.15406 / 4.335e-3 = 32.0 nm，微应变为 1.50e-3。真实晶粒尺寸是 32 nm，比任何一个单峰给出的值都大约四分之一。作为对照，如果把 2θ 直接当成 θ 代入（漏掉半角这一步），本例会得到 27.7 nm，与正确值只差约 5% —— 偏差不大却方向固定，这正是此类错误难以察觉的原因。
适用场景
只有一个分辨良好的反射时，用单峰模式做快速估计；比较同一条件下一批样品时也用它，因为系统误差会相互抵消。实验之前可以用反解模式：给出预期尺寸，它会算出分辨该尺寸所需的峰宽，从而判断这台仪器到底测不测得出来。判断仪器够不够用有个简单法则：把反解出的峰宽与仪器宽化放在一起比。若两者同量级，测量仍有意义；若前者只剩后者的零头，就该换仪器或改方法，再怎么拟合也救不回来。只要样品经过热处理、球磨或处于应力状态，就应改用 Williamson-Hall 模式，此时单峰 Scherrer 结果不是不够精确，而是存在系统性偏差。方法本身的边界也值得说明：它给出的是相干衍射畴尺寸而非颗粒尺寸，多晶颗粒的数值会小于其物理尺寸，有时小很多；可靠区间大致在 2 到 100 nm，超过 200 nm 后因宽化低于仪器分辨率而迅速失真；它还假定尺寸分布窄且应变各向同性，对尺寸分布的形状一无所知，双峰分布会得到一个没有意义的平均值。大晶粒或需要完整结构信息时，应使用 Rietveld 精修或透射电镜；而对纳米晶样品，Scherrer 仍然是最快拿到第一个数字的办法。
常见问题
- 晶粒尺寸和颗粒尺寸有什么区别？
- Scherrer 方程给出的是相干衍射畴尺寸，也就是晶粒：晶格连续且相位一致的那块区域。颗粒则是物理上独立的对象，它可能由许多被晶界、层错或孪晶隔开的晶粒组成。两者不一致时，晶粒尺寸一定是更小的那个数：由 30 nm 晶粒构成、外径 200 nm 的多晶颗粒，Scherrer 会报约 30 nm。把结果与扫描电镜对照时最容易在这里困惑 —— 电镜看到的是颗粒轮廓，激光粒度看到的是团聚体。要颗粒尺寸请用显微镜；要判断纳米材料的结晶有序程度，也就是决定峰宽、并常常决定催化与电化学行为的那个量，Scherrer 数值才是有信息的。另外要提醒的是，Scherrer 尺寸是对尺寸分布做加权平均后的单一数值，单晶与多晶混杂的样品得到的仍是一个加权结果，不能理解成晶粒里含有多少个晶胞。
- 为什么半高宽一定要换算成弧度？
- 因为余弦项里的 θ 是角度，β 乘以 cosθ 只有在两者同单位时才成立。实验室软件为了作图方便把峰宽报成度，而 Scherrer 方程的原始形式要求 β 用弧度。换算只需要乘以 π 再除以 180：0.318° 就是 0.00555 rad。直接代入度数会把 D 放大 57.2958 倍，也就是一弧度对应的度数。这个错误很难用眼睛发现，因为结果仍然是一个看起来合理的纳米数：40 nm 的晶粒会变成 2348 nm，很多人只会读成晶粒偏大或者样品有问题。成熟的实现会在内部完成换算，本工具即如此；而手算或用电子表格时，就必须自己处理这一步。
- 为什么算出的晶粒尺寸比电镜看到的颗粒小？
- 因为两者测的不是同一个东西。Scherrer 只统计能相干衍射的那部分体积；任何打断晶格连续性的因素，例如晶界、层错、孪晶或高位错密度，都会把对应体积从计算中剔除。显微镜统计的是整个颗粒轮廓，其中包含非晶表面层 —— 纳米颗粒的表面常有 1 到 2 nm 的非晶层。做这种对比还必须同时看尺寸分布：Scherrer 给出的是体积加权平均，被有序度最高的区域主导，因此分布很宽的粉末不可能与从照片上数出来的数字吻合。如果结晶良好的样品两者相差两倍以上，应优先怀疑仪器宽化，因为校正估计不足会人为压低报出的尺寸。还有一个常被忽略的误差源：样品的高度位移与透明效应会让峰位偏移、峰形畸变，直接影响 β 的读数。制样时把粉末表面压得与衍射平面齐平，比事后校正容易得多。
- 单峰够用吗，还是必须做 Williamson-Hall 分析？
- 只有当样品无应变时单峰结果才可信，而经过球磨、热处理或做成薄膜的样品几乎都做不到这一点。问题在于尺寸宽化与应变宽化的角依赖不同：尺寸宽化按 1/cosθ 变化，在低角占主导；应变宽化按 tanθ 变化，在高角占主导。单次测量无法把两种形状不同的贡献分开，只能得到一个混合值。Williamson-Hall 法在较宽的角度范围测多个峰，把 βcosθ 对 4sinθ 作线性拟合，两项同时被线性化：截距即 Kλ/D，斜率即微应变。如果各峰的单峰表观尺寸随角度漂移，说明存在微应变，此时只有多峰拟合的结果可信。快速横向比较样品时用单峰模式；一旦数值要写进论文，就用 Williamson-Hall 模式。该方法也有一条前提：应变必须各向同性。如果拟合点呈现明显的弯曲而不是随机散布，说明这条前提不成立，应改用各向异性尺寸-应变模型或直接做 Rietveld 精修。